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satzung.tex

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tex/00_header.tex

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+
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tex/99_anhang.tex

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 \section*{Erl"auterungen zum Verfahren Sainte Lagu"e/Schepers}
 \subsection*{Geschichte}
-Mit dem Ziel, die Benachteiligung kleinerer Parteien nach d’Hondt zu vermeiden, wurde von dem Physiker Hans Schepers eine Modifikation entwickelt\footnote{Hans Schepers, Deutscher Bundestag, Gruppe Datenverarbeitung, Vermerk vom 19.~März~1991}.\\
-Schepers, seinerzeit als Leiter der Gruppe Datenverarbeitung Bediensteter der Verwaltung des Deutschen Bundestages, schlug sein Verfahren dem Bundestag vor, der es seit der 8.~Wahlperiode zur Ermittlung der Zugriffsreihenfolge für die Ausschussvorsitze und seit der 9.~Wahlperiode auch für die Besetzung der Ausschüsse einsetzt.\\
-Schepers entwickelte seine Vorstellungen in der Formulierung der Rangmaßzahlen. Es zeigte sich, dass sein Vorschlag zu identischen Ergebnissen führt wie das im Jahr 1912 von dem Franzosen A.~Sainte~Lagu"e vorgeschlagene Verfahren, der sein Modell in Termini der Höchstzahlendarstellung formulierte.
+Mit dem Ziel, die Benachteiligung kleinerer Parteien nach d’Hondt zu vermeiden, wurde von dem Physiker Hans Schepers eine Modifikation entwickelt\footnote{Hans Schepers, Deutscher Bundestag, Gruppe Datenverarbeitung, Vermerk vom 19.~M"arz~1991}.\\
+Schepers, seinerzeit als Leiter der Gruppe Datenverarbeitung Bediensteter der Verwaltung des Deutschen Bundestages, schlug sein Verfahren dem Bundestag vor, der es seit der 8.~Wahlperiode zur Ermittlung der Zugriffsreihenfolge f"ur die Ausschussvorsitze und seit der 9.~Wahlperiode auch f"ur die Besetzung der Aussch"usse einsetzt.\\
+Schepers entwickelte seine Vorstellungen in der Formulierung der Rangma"szahlen. Es zeigte sich, dass sein Vorschlag zu identischen Ergebnissen f"uhrt wie das im Jahr 1912 von dem Franzosen A.~Sainte~Lagu"e vorgeschlagene Verfahren, der sein Modell in Termini der H"ochstzahlendarstellung formulierte.
 
 \subsection*{Verfahrensidee}
-Das Verfahren lässt sich im Prinzip auf denselben Grundgedanken wie dasjenige nach d'Hondt zurückführen. Bei d'Hondt werden Rangmaßzahlen so bestimmt, dass sie bei Größen von fiktiven Gremien liegen, wo die betrachtete Partei einen vollen Anspruch auf 1, 2, 3, ... Sitze (Anteilseinheiten) hat. Es lässt sich zeigen, dass dadurch kleinere Parteien unverhältnismäßig lange auf den ersten und die weiteren Zugriffe "`warten"' müssen.\\
-Um auch den kleineren Parteien bald zu ihrem ersten Zugriff zu verhelfen, verringert man die Anspruchsvoraussetzungen:  Die  Zugriffe  erfolgen  jeweils  bereits  dann,  wenn  die  Voraussetzungen  für  den  ersten  bzw.  den jeweils nächsten Zugriff erst zur Hälfte erfüllt sind (die andere Hälfte der Voraussetzung für den Zugriff wird "`erlassen"').
+Das Verfahren l"asst sich im Prinzip auf denselben Grundgedanken wie dasjenige nach d'Hondt zur"uckf"uhren. Bei d'Hondt werden Rangma"szahlen so bestimmt, dass sie bei Gr"o"sen von fiktiven Gremien liegen, wo die betrachtete Partei einen vollen Anspruch auf 1, 2, 3, ... Sitze (Anteilseinheiten) hat. Es l"asst sich zeigen, dass dadurch kleinere Parteien unverh"altnism"a"sig lange auf den ersten und die weiteren Zugriffe "`warten"' m"ussen.\\
+Um auch den kleineren Parteien bald zu ihrem ersten Zugriff zu verhelfen, verringert man die Anspruchsvoraussetzungen:  Die  Zugriffe  erfolgen  jeweils  bereits  dann,  wenn  die  Voraussetzungen  f"ur  den  ersten  bzw.  den jeweils n"achsten Zugriff erst zur H"alfte erf"ullt sind (die andere H"alfte der Voraussetzung f"ur den Zugriff wird "`erlassen"').
 \newpage
 
-\subsection*{Formel für die Rangmaßzahlen}
-Das drückt sich in der Formel für die Rangmaßzahlen durch folgende Veränderung aus:
+\subsection*{Formel f"ur die Rangma"szahlen}
+Das dr"uckt sich in der Formel f"ur die Rangma"szahlen durch folgende Ver"anderung aus:
 $$S_{ag} = (i - 0,5) \times \frac{S_{am}}{A_{am}},\ i=1,2,3,...$$
-Wie oben bereits ausgeführt, ist dies der gedankliche Weg, der dem Vorschlag von Schepers zugrunde liegt.\\
+Wie oben bereits ausgef"uhrt, ist dies der gedankliche Weg, der dem Vorschlag von Schepers zugrunde liegt.\\
 Anhand des folgenden Beispiels soll die Auswertung verdeutlicht werden:\\
-\hspace*{3em}Ausgangsmenge hat die Summe 356\\
-\hspace*{3em}abgeleitetes Gremium soll die Summe 47 haben
+\hspace*{3em}Ausgangsmenge hat die Summe $356$\\
+\hspace*{3em}abgeleitetes Gremium soll die Summe $47$ haben
 \newline
 
-\begin{tabular}{|c|c|c|}
-	\hline 
-	Partei & Anteil in der Ausgangsmenge & Anteil im abgeleiteten Gremium \\ 
-	\hline 
-	A & 203 & 26,80... \\ 
-	\hline 
-	B & 119 & 15,71... \\ 
-	\hline 
-	C & 34 & 4,48... \\ 
-	\hline 
-\end{tabular}
-\newline\\
-Der streng proportionale Anteil im abgeleiteten Gremium ergibt sich aus der Proportionalitäts-Rechnung:
-$$\frac{203}{356} \times 47 = 26,80...$$ usw.
\ No newline at end of file
+\begin{figure}[H]
+	\includegraphics[width=\linewidth]{anhang/table_1.png}
+	\caption{Beispiel 1}
+	\label{fig:beispiel1.0}
+\end{figure}
+
+\noindent{}Der streng proportionale Anteil im abgeleiteten Gremium ergibt sich aus der Proportionalit"ats-Rechnung:
+$$\frac{203}{356} \times 47 = 26,80...$$ usw.
+
+\newpage
+
+\begin{figure}[H]
+	\includegraphics[width=\linewidth]{anhang/table_2.png}
+	\label{fig:beispiel1.1}
+\end{figure}
+
+\newpage
+
+\subsection*{Auswertung der Rangzahlen}
+Wie schon bei d’Hondt werden auch bei Sainte Lagu"e/Schepers anschlie"send die R"ange zu einer Vertei-
+lung der Anteilseinheiten ausgewertet.
+
+\begin{figure}[H]
+	\includegraphics[width=\linewidth]{anhang/table_3.png}
+	\label{fig:beispiel1.2}
+\end{figure}
+
+\section*{Formel f"ur die H"ochstzahlen}
+Wie bei dem Verfahren nach d’Hondt beschrieben, ergeben sich auch bei dem Verfahren nach Sainte Lagu"e/Schepers die H"ochstzahlen durch die Umkehrung der Rangma"szahlen.\\
+Der "Anderung in der Formel f"ur die Rangma"szahlen entspricht auch eine "Anderung in der Formel f"ur die H"ochstzahlen, weshalb auch hier der laufende Index $i$ jeweils um $0,5$ verringert wird:
+$$\frac{S_{am}}{S_{ag}}=\frac{A_{am}}{i-0,5},\ i=1,2,3,\ldots$$
+
+\noindent{}Aus praktischen Gr"unden wird die gesamte Formel durch $2$ dividiert; da es bei den H"ochstzahlen allein auf die Reihenfolge ankommt, ist eine solche Ver"anderung der Formel unerheblich:
+$$\frac{1}{2} \times \frac{S_{am}}{S_{ag}} = \frac{A_{am}}{2i-1},\ i=1,2,3,\ldots$$
+$$\frac{1}{2} \times \frac{S_{am}}{S_{ag}} = \frac{A_{am}}{i},\ i=1,2,3,\ldots$$
+
+\noindent{}Dabei wurde der Nenner $2 (i – 1)$ mit dem Laufindex $i$ "uber alle positiven ganzen Zahlen ersetzt durch $i$, welches dann nur "uber die ungeraden Zahlen l"auft.
+
+\newpage
+
+\noindent{}Hier werden die Werte $\frac{1}{2} \times \frac{S_{am}}{S_{ag}}$ H"ochstzahlen genannt.
+
+\subsection*{Beziehungen zwischen Rangma"szahlen und H"ochstzahlen nach Sainte Lagu"e/Schepers}
+Aus obigen Formeln ergeben sich die Beziehungen:
+$$\text{Rangma"szahl}=\frac{\text{St"arke der Ausgangsmenge}}{2 \times \text{H"ochstzahl}}$$
+$$\text{H"ochstzahl}=\frac{\text{St"arke der Ausgangsmenge}}{2 \times \text{Rangma"szahl}}$$
+
+\noindent{}W"ahrend die Rangma"szahlen aufsteigend geordnet werden m"ussen, um die Reihenfolge der Zugriffe der verschiedenen Parteien vorzugeben, m"ussen auch bei diesem Verfahren entsprechend der Umkehrung des Bruches die H"ochstzahlen absteigend geordnet werden.\\
+F"ur dieses Verfahren hat sich der Name Rangma"szahlverfahren nach Sainte Lagu"e/Schepers eingeb"urgert. Im Folgenden wird noch einmal in Worten beschrieben, wie die H"ochstzahlen nach Sainte Lagu"e/Schepers berechnet werden k"onnen.
+
+\section*{Algorithmus}
+(nur f"ur die H"ochstzahlen ausgef"uhrt)\\
+Nach der oben stehenden Formel werden die H"ochstzahlen beim Verfahren nach Sainte Lagu"e/Schepers also berechnet, indem man die Anteile der Parteien in der Ausgangsmenge durch die ungeraden Zahlen $1,3,5,\ldots$ teilt.\\
+Die so entstehenden H"ochstzahlen werden absteigend geordnet und bestimmen, da sie ja jeweils einer bestimmten Partei zugeordnet sind, die Reihenfolge, in der die Parteien ihren Anteil am abgeleiteten Gremium jeweils um 1 erh"ohen d"urfen, in der sie also "`zugreifen"' d"urfen.\\
+Die Zugriffe der einzelnen Parteien entsprechend ihren H"ochstzahlen werden solange fortgef"uhrt, bis die vorgegebene Soll-St"arke des abzuleitenden Gremiums erreicht ist.
+
+\newpage
+
+\begin{figure}[H]
+	\includegraphics[width=\linewidth]{anhang/table_4.png}
+	\caption{Beispiel 2: (mit den Ausgangswerten von Beispiel 1)}
+	\label{fig:beispiel2.0}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+	\includegraphics[width=\linewidth]{anhang/table_5.png}
+	\caption{Noch Beispiel 2: Auswertung von H"ochstzahlen}
+	\label{fig:beispiel2.1}
+\end{figure}
+
+Folgendes soll noch einmal besonders herausgestellt werden:\\
+Der "Ubergang von der Division durch alle nat"urlichen Zahlen bei d’Hondt zur Division nur durch die ungeraden Zahlen bei Sainte Lagu"e/Schepers ist Ausdruck daf"ur, dass die Voraussetzungen f"ur die Zugriffe der Parteien reduziert werden, wodurch die Zur"ucksetzung der kleineren Parteien beim Verfahren nach d’Hondt beim Verfahren nach Sainte Lagu"e/Schepers aufgehoben wird.\\
+Vorteile:
+\begin{itemize}
+	\item Das Verfahren bietet zun"achst einmal denselben Vorteil wie das Verfahren nach d’Hondt, n"amlich den eines einfachen Algorithmus. Ebenso wie dieses ist es auch zur Festlegung einer Reihenfolge	brauchbar - allerdings mit "ahnlichen Einschr"ankungen wie das Verfahren nach d’Hondt.
+	\item Ein m"oglicher Vorteil gegen"uber dem Verfahren nach d’Hondt ist die Aufhebung der Benachteiligung kleinerer Parteien\footnote{Au"serdem: Es wird berichtet, Sainte Lagu"e habe nachgewiesen, dass sein Verfahren nach der "`Methode der kleinsten Summe der Quadrate der Abweichungen"' die beste Ann"aherung an die Proportionalit"at ergibt.}.
+\end{itemize}
+
+\newpage
+
+\noindent{}Dieser Sachverhalt zeigt sich auch in unserem Beispiel 3 einer Gegen"uberstellung der Ergebnisse nach d’Hondt und nach Sainte Lagu"e/Schepers. Die Anteile der Parteien A, B und C sind hier berechnet f"ur Gremien bis zu einer Gesamtst"arke von (willk"urlich).
+
+\begin{figure}[H]
+	\includegraphics[width=\linewidth]{anhang/table_6.png}
+	\caption{Noch Beispiel 3: (mit den Ausgangswerten von Beispiel 1)}
+	\label{fig:beispiel3}
+\end{figure}
+
+\noindent{}W"ahrend die kleinere Partei C ihren ersten Sitz nach d’Hondt erst in einem Gremium der Gesamtst"arke 9 erh"alt, bekommt sie diesen nach Sainte Lagu"e/Schepers bereits bei einem Gremium der St"arke 6, den zweiten Sitz statt bei 19/20 (Mehrdeutigkeit!) schon bei 16 usw.\\
+Nachteile:
+\begin{itemize}
+	\item Auch bei diesem Verfahren k"onnen Mehrdeutigkeiten auftreten wie bei dem Verfahren nach d’Hondt. Jedoch sind, wenn man die Gesamtheit vieler unterschiedlicher Berechnungsaufgaben betrachtet, solche Vorkommnisse bei Sainte Lagu"e/Schepers seltener.
+\end{itemize}
+
+\newpage
+
+\noindent{}Quelle: Deutscher Bundestag / Berechnungsverfahren f"ur die Sitzverteilung in den Aussch"ussen/ Wahlverfahren Sainte Lagu"e/Scheper
+\newline
+
+\noindent{}{\footnotesize\href{http://web.archive.org/web/20030822065935/http://www.bundestag.de/gremien15/ausschuesse/azur/azur_4.html}{\textcolor{blue}{\underline{http://web.archive.org/web/20030822065935/http://www.bundestag.de/gremien15/ausschuesse/azur/azur\_4.html}}}
+\newline
+
+\noindent{}(archiviert am 22.~August~2003 von \href{https://web.archive.org}{Internet Archive})
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